 Wyższa matematyka
Politycy często nie rozumieją natury matematyki i matematycznej edukacji. „Reformy” wprowadzane w różnych systemach szkolnych idą czasem w przeciwnych kierunkach. Zjawisko to wskazuje, że musimy lepiej zrozumieć problemy, a nie poprzestawać na stwierdzeniu, że są i że są ważne.
Matematyka jest wysoka
Cechą matematyki, która zasługuje na szczególną uwagę w nauczaniu, jest jej „wysokość”, to jest poziom, do jakiego buduje się pojęcia na pojęciach. Rozumowanie matematyczne może być bardzo jasne i pewne, a gdy jakaś zasada zostanie ustalona, można na niej polegać. Oznacza to możliwość budowania struktur pojęciowych, które są zarazem bardzo wysokie, bardzo spolegliwe i bardzo mocne. Taka struktura nie jest podobna do drzewa, ale raczej do rusztowania, z licznymi połączonymi z sobą podporami. Gdy rusztowanie to jest solidne, nietrudno podciągnąć je jeszcze wyżej. Nie można jednak zbudować nowej kondygnacji, zanim została położona poprzednia.
Trudności pojawiają się dlatego, że uczniowie rozpoczynający nowy kurs w różnym stopniu opanowali to, czego się uczyli wcześniej. Mają też skłonność do ukrywania tego, co naprawdę wiedzą, a czego nie wiedzą. Na przykład, wielu uczniów przystępujących do nauki analizy matematycznej nie umie poprawnie dodawać ułamków, przynajmniej w formie symbolicznej. Typowym błędem jest to, że a/b + c/d = (a + c) / (b + d) (o wiele prościej niż (ad + cb) / bd). Dodawanie ułamków jest nudne dla kogoś, kto to umie, a jest ważną umiejętnością w algebrze, a potem z kolei w analizie. Gdy rozmawiamy z uczniem indywidualnie – nietrudno wyłowić te elementy struktury, które wymagają dokręcenia, a potem zająć się nimi. Jest jednak trudno znaleźć taki poziom nauczania, który jest dostępny, a jednocześnie interesujący dla wszystkich uczniów klasy o tak różnym przygotowaniu.
Matematyka jest szeroka
Matematyka jest także szeroka. Jest wiele tematów, których w ogóle nie rozważa się w zasadniczej linii programu prowadzącego do analizy matematycznej. Te, którymi się zajmujemy, mają liczne interesujące odgałęzienia, nigdy nie podejmowane. W pokoleniu moich rodziców (w latach 1940.) standardowym pierwszym kursem na początku studiów matematycznych była algebra wyższa. Wkrótce potem standardowym pierwszym kursem na studiach stała się analiza matematyczna i tak było do lat 1960., kiedy analiza weszła do szkół średnich jako przedmiot dla najzdolniejszych uczniów. Teraz analizę wprowadzono do programu masowych szkół średnich, tak że większość lepszych studentów matematyki i fizyki naszych uniwersytetów ma na wejściu analizę za sobą.
Za takie przyspieszenie programu trzeba było zapłacić: towarzyszyło mu odcięcie pobocznych tematów. Na przykład, gdy byłem w szkole średniej, do standardowych tematów należała geometria brył i geometria sferyczna obok planimetrii. Te tematy już dawno porzucono. Wykształcenie matematyczne typowego studenta jest wysokie i wrzecionowate. Osiąga pewien poziom, ponad którym podstawa nie wytrzymuje już dalszego wzrostu, toteż następuje jego zahamowanie lub zupełne załamanie.
Te dwa trendy (wydłużenie i zwężenie matematyki szkolnej) uległy przyspieszeniu wraz z rosnącym zaufaniem do testów standaryzowanych. Testy standaryzowane mają w zamierzeniu obejmować tematykę najbardziej standardowego programu: jeżeli tylko połowa uczniów przerabia jakiś temat, nie byłoby uczciwe pytać o to w standaryzowanym teście. Nie byłoby to takie złe, gdyby testy te służyły tylko jako jeden z kilku sposobów oceny. Zamiast tego jednak wysokie wyniki testu są często traktowane jako cel. Prawodawcy, media i rodzice wywierają presję na władze oświatowe, władze oświatowe wywierają presję na dyrektorów szkół i nauczycieli, wreszcie nauczyciele wywierają presję na uczniów, by podnosili swoje wyniki testów. Smutnym efektem tego jest ukierunkowanie nauczania matematyki na podnoszenie wyników pewnych testów standaryzowanych.
Nie wydaje się diagnozy o zapaleniu płuc używając tylko termometru i nie próbuje się go leczyć wkładaniem lodu do ust. Podobnie oświecone podejście należałoby zastosować także wobec testów w nauczaniu matematyki.
Dalekosiężny celom nauczania matematyki lepiej służyłoby zmniejszenie nacisku na wysoki wzrost matematyki i przejście ze standardowej sekwencji tematów na program bardziej zróżnicowany, obejmujący większą liczbę tematów bliższych ziemi. Pojawiły się tendencje w tym kierunku, takie jak wprowadzenie matematyki dyskretnej i rachunku prawdopodobieństwa, jednak jest wciąż miejsce na dużo więcej.
Matematyka jest intuicyjna i realna
Uczniowie na ogół tracą kontakt z rzeczywistością i intuicyjnym charakterem matematyki. Od przedszkola po liceum mają często nauczycieli, którzy nie czują się swobodnie, gdy nie stąpają po ubitym gościńcu. Małe dzieci proponują pomysłowe rozwiązania zadań matematycznych, lecz nauczyciele na ogół odwodzą je od niekonwencjonalnych podejść. Po części dlatego, że niełatwo jest zrozumieć, co dziecko myśli czy próbuje wysłowić – i nauczyciel nie może się w tym połapać, po części dlatego, że według nauczyciela nie jest w porządku używanie jakiejś alternatywnej argumentacji. Do matury uczniom nie wolno myśleć samodzielnie i głośno wypowiadać swoich poglądów. Zamiast tego próbują więc domyślać się, jakie rutynowe podejścia powinni umieć. Gdy w klasie zdarzy się odstępstwo od programu czy podręcznika, zawsze ktoś zapyta, czy to będzie w teście.
Jeżeli matematyka nie będzie w szkole trafiać do uczniów, nie ma szansy, by oni kiedykolwiek o niej myśleli lub stosowali ją po ukończeniu szkoły.
„Wyścigi” i konkursy
Wraz z naciskiem na testy pojawił się nacisk na przodownictwo i przyspieszanie w uczeniu się matematyki. Zdolnemu uczniowi jest stosunkowo łatwo przerobić cały program dużo szybciej. Jest jednak szereg problemów związanych z takim wyprzedzaniem.
Uczniowie szybko skaczący przez program mają często luki w podstawach, które powodują późniejsze spowolnienie. W takim momencie uczeń może wstydzić się przyznać do luki i próbuje udawać, że rozumie. To z reguły prowadzi do katastrofy.
Inny problem polega na tym, że uczący się zbyt szybko nabiera przekonania, że sukces polega na tym, by być przed kolegami, a nie na jakości wiedzy i myślenia. Z dalszej perspektywy jest to postawa krótkowzroczna. W wieku 25 lub 30 lat te osoby będą oceniane nie za wyprzedzanie innych, ale za jakość pracy. Takich „sprinterów” bardzo przygnębia obserwacja, że inni, utalentowani lecz nie uczestniczący w wyścigu, teraz im dorównują, stając w jednym szeregu (…)
Trzeci problem związany z przodowaniem jest natury społecznej. Młodsi uczniowie nieraz radzą sobie na lekcji intelektualnie, lecz nie pasują społecznie do reszty.
Z przodowaniem związana jest też popularna tendencja: o matematyce myśli się jak o wyścigu czy konkurencji lekkoatletycznej. Szeroko rozpowszechniły się regularne zawody, gdzie zespoły z różnych szkół rozwiązują serię zadań w krótkim czasie. Są też państwowe i międzynarodowe zawody. Są one zabawne, ciekawe i kształcące dla tych osób, które odnoszą w nich sukces. Jednak mają też negatywny aspekt. Zawody wzmacniają przeświadczenie, że albo masz „matematyczny gen”, albo go nie masz. Faworyzują szybkość, kosztem głębokości myślenia. Dominują w nich zadania, będące w istocie zagadkami z ukrytą pułapką, a nie prawdziwe problemy, w których ważne jest podejście systematyczne i wytrwałość(…)
ym pisarstwem, wielu potencjalnych pisarzy byłoby niesłusznie zniechęconych do pisania.
Myślę, że odpowiedzią na te problemy jest zbudowanie systemu, który eksploatowałby matematykę wszerz, pozwalając szybszym uczniom wejść głębiej w materiał i czynić wycieczki w boczne rejony, zanim wybiegną naprzód przed resztę klasy.
GRUPA MEDIA INFORMACYJNE & ADAM NAWARA |
